un = e - (1 + )n on demande la nature de un

pour (1 + ) n on utilise a b = exp( b ln a ) donc ici (1 + ) n = exp( n ln(1 +

1
n
))

ln(1 +

1
n
) =
1
n
-
1
2
1
n2
+ o (
1
n2
)

exp( n ln(1 +

1
n
)) = exp( n (
1
n
-
1
2
1
n2
+ o (
1
n2
))) = exp(1below (, X ))

e1 + X = e1×eX

exp( X ) = 1 + X +

X2
2
+ o ( X 2 ) avec X une variable au voisinage de 0.

exp(1 -

1
2n
+ o (
1
n
)) = e 1 + X = e × e X = e × (1 + ( -
1
2n
+ o (
1
n
)) +
1
2
(below (, a ) + below (, b )) 2 + o ( -
1
2n
+ o (
1
n
)) 2 )

exp(1 -

1
2n
+ o (
1
n
)) = e -
e
2n
+ o (
e
n
) +
e
2
× (below (, a 2 ) + below (, 2 a b ) + below (, b 2 )) + o (
1
n2
)

exp(1 -

1
2n
+ o (
1
n
)) = e -
e
2n
+ o (
1
n
) +
e
(
1
8n2
) + o (
1
n2
)

u n = not( e ) - (not( e ) -

e
2n
+ o (
1
n
)) =
e
2n
+ o (
1
n
).

e
(
1
8n2
) = o (
1
n
)


La suite un = (

n
k = 1
ln k) - (n + ) ln n + n admet-elle une limite finie ?

un + 1 - un = (

n + 1
k = 1
ln k) - (n + 1 + ) ln (n + 1) + not(n) + 1 - ((
n
k = 1
ln k)
- (n + ) ln n + not(n))

(

n + 1
k = 1
ln k) - (
n
k = 1
ln k) = (ln 1 + ln 2 + + ln n + ln (n + 1)) - (ln 1 + ln 2 + + ln n)

u n + 1 - u n = not( ln(n + 1) ) + 1 - ( n +

1
2
)ln( n + 1) - 1 not(ln( n + 1)) + ( n +
1
2
)ln n

ln

a
b
= - ln
b
a

a + b
c
=
a
c
+
b
c

u n + 1 - u n = ( n +

1
2
)(ln( n ) - ln( n + 1)) + 1 = ( n +
1
2
)ln
n
n + 1
+ 1 = - ( n +
1
2
)ln
n + 1
n
+ 1 = - ( n +
1
2
)below (, DL) + 1

u n + 1 - u n = - ( n +

1
2
)(
1
n
-
1
2n2
+
1
3n3
+ o (
1
n3
)) + 1

u n + 1 - u n = - 1 + not(

1
2n
) -
1
3n2
+ o (
1
n2
) - not(
1
2n
) +
1
4n2
-
1
6n3
+ o (
1
n3
) + 1

u n + 1 - u n = below (, t.g. d'une série CV) car -

1
12n2
+ o (
1
n2
) -
1
12n2
or d'après Riemann ce tg est celui d'une série CV.

donc (un + 1 - un) CV (un) CV.

(un + 1 - un) = (not(u1) - u0) + (u2 - not(u1)) + (u3 - u2) + + (un + 1 - un) +

N
n = 1
(un + 1 - un) = (u1 - u0) + (u2 - u1) + (u3 - u2) + + (uN + 1 - uN)

N
n = 1
(un + 1 - un) = uN + 1 - u0.