un = e - (1 +
)n on demande la nature de
∑un |
pour (1 + )
n
on utilise
a
b
= exp(
b
ln
a
) donc ici (1 + )
n
= exp(
n
ln(1 +
))
ln(1 +
) =
-
+
o
(
)
exp(
n
ln(1 +
)) = exp(
n
(
-
+
o
(
))) = exp(1below (,
X
))
e1 + X =
e1×eX
exp(
X
) = 1 +
X
+
+
o
(
X
2
) avec
X
une variable au voisinage de 0.
exp(1 -
+
o
(
)) =
e
1 + X
=
e
×
e
X
=
e
×
(1 + ( -
+
o
(
)) +
(below (,
a
) + below (,
b
))
2
+
o
( -
+
o
(
))
2
)
exp(1 -
+
o
(
)) =
e
-
+
o
(
) +
×
(below (,
a
2
) + below (, 2
a
b
) + below (,
b
2
)) +
o
(
)
exp(1 -
+
o
(
)) =
e
-
+
o
(
) +
(
) +
o
(
)
u
n
= not(
e
) - (not(
e
) -
+
o
(
)) =
+
o
(
).
(
) =
o
(
)
La suite un =
(∑ln k) - (n + ) ln n +
n admet-elle une limite finie ?
un + 1 -
un = (∑ln k) - (n + 1 + ) ln
(n + 1) + not(n) + 1 - ((∑ln k) - (n + ) ln
n + not(n))
(∑ln k) - (∑ln k) = (ln 1 + ln 2 + ⋯ + ln
n + ln (n + 1)) - (ln 1 + ln 2 +
⋯ + ln n)
u
n + 1
-
u
n
= not(
ln(n + 1)
)
+ 1
- (
n
+
)ln(
n
+ 1) - 1 not(ln(
n
+ 1)) + (
n
+
)ln
n
ln
= - ln
=
+
u
n + 1
-
u
n
= (
n
+
)(ln(
n
) - ln(
n
+ 1))
+ 1
= (
n
+
)ln
+ 1
= - (
n
+
)ln
+ 1
= - (
n
+
)below (, DL)
+ 1
u
n + 1
-
u
n
= - (
n
+
)(
-
+
+
o
(
))
+ 1
u
n + 1
-
u
n
= - 1 + not(
) -
+
o
(
) - not(
) +
-
+
o
(
)
+ 1
u
n + 1
-
u
n
= below (, t.g. d'une série CV) car -
+
o
(
)
∼
-
or d'après Riemann ce tg est celui d'une série CV.
donc ∑(un + 1 -
un) CV ⇔
(un) CV.
∑(un + 1 -
un) = (not(u1) -
u0) + (u2 -
not(u1)) + (u3 -
u2) + ⋯ +
(un + 1 -
un) + ⋯
∑(un + 1 -
un) = (u1 -
u0) + (u2 -
u1) + (u3 -
u2) + ⋯ +
(uN + 1 -
uN)
∑(un + 1 -
un) = uN +
1 - u0.